Niels Henrik Abel (1802-1829) était un mathématicien norvégien qui a prouvé que les équations de cinquième ordre et d'ordre supérieur n'ont pas de solution algébrique. S'il n'était pas mort prématurément, on suppose qu'il aurait pu devenir l'un des mathématiciens les plus éminents du XIXe siècle. Il a fourni la première preuve générale du théorème binomial et a fait des découvertes significatives concernant les fonctions elliptiques
Abel est né à Finnöy, sur la côte sud-ouest de la Norvège, le 5 août 1802. Il était le deuxième fils de Sören Georg Abel, un ministre luthérien, et Anne Marie née Sorensen, la fille d'un riche marchand. Le père d'Abel a été nommé à une nouvelle paroisse en 1804, et la famille a déménagé dans la ville de Gjerstad, dans le sud de la Norvège. Abel a reçu son éducation précoce de son père. En 1815, il a été envoyé à l'école de la cathédrale à Oslo, où il a rapidement développé une passion pour les mathématiques. En 1818, un nouvel instructeur, Berndt Holmboe, arriva à l'école et attira davantage l'attention d'Abel, lui présentant les œuvres de maîtres européens tels que Isaac Newton, Joseph-Louis Lagrange et Leonhard Euler. Holmboe allait devenir un ami et un défenseur de longue date, aidant finalement à amasser des fonds qui permettaient à Abel de voyager à l'étranger et de rencontrer les principaux mathématiciens d'Allemagne et de France.
Abel a été diplômé de l'école de la cathédrale en 1821. Son père était mort un an plus tôt et son frère aîné avait développé une maladie mentale. La responsabilité de subvenir aux besoins de sa mère et de ses quatre frères et sœurs cadets dépendait en grande partie d'Abel. Pour joindre les deux bouts, il a commencé le tutorat. Pendant ce temps, il a passé l'examen d'entrée à l'université. Ses performances en géométrie et en arithmétique ont été distinguées et on lui a offert un dortoir gratuit. Dans un geste exceptionnel, les membres de la faculté de mathématiques, qui étaient déjà au courant de la promesse d'Abel, ont versé des fonds personnels pour couvrir ses autres dépenses. Abel s'est inscrit à l'Université de Kristiania (Oslo) à l'âge de 19 ans. En un an, il avait terminé ses cours de base et était un candidat au diplôme.
Impossibilité prouvée de solutions pour un problème quintique
Au cours de sa dernière année à l'école de la Cathédrale, Abel était devenu intrigué par un défi qui avait occupé certains des meilleurs esprits mathématiques depuis le 16ème siècle, celui de trouver une solution au problème "quintique". Une équation quintique est celle dans laquelle l'inconnu apparaît au cinquième pouvoir. Abel croyait avoir découvert une solution générale et présenta ses résultats à son professeur Holmboe, qui fut assez sage pour se rendre compte que le raisonnement mathématique d'Abel était au-delà de sa pleine compréhension. Holmboe a envoyé la solution au mathématicien danois Ferdinand Degen, qui a exprimé son scepticisme mais n'a pas pu déterminer si l'argument d'Abel était erroné. Degen a demandé à Abel de fournir des exemples de sa solution générale, et a finalement pu découvrir l'erreur dans son approche. Abel resterait obsédé par le problème quintique pour les prochaines années. Finalement, en 1823, il parvint à la réalisation et obtint une preuve qu'une solution algébrique était impossible. Abel a envoyé un document décrivant sa preuve à Johann Karl Friedrich Gauss, qui aurait ignoré le traité. Pendant ce temps, Abel commença à travailler sur ce qui deviendrait la première preuve d'une équation intégrale, et continua à fournir la première preuve générale du théorème binomial, qui jusqu'alors n'avait été prouvé que pour des cas particuliers. Il a également étudié elliptique
intégrales et développé une nouvelle façon de les examiner en utilisant des fonctions inverses.
En 1825, Abel quitte la maison et se rend à Berlin, où il rencontre August Leopold Crelle, ingénieur civil et constructeur du premier chemin de fer allemand. Crelle avait une forte révérence pour les mathématiques, et était sur le point de publier la première édition du Journal for Pure and Applied Mathematics, le premier périodique entièrement consacré à la recherche mathématique. Reconnaissant chez Abel un homme de génie, Crelle demanda si le jeune homme contribuerait à la première édition. Abel obligea, fournissant à Crelle un manuscrit qui décrivait sa preuve qu'une solution algébrique à l'équation générale du cinquième et des degrés supérieurs était impossible. Le papier assurerait la renommée d'Abel et le succès du journal naissant de Crelle. De l'Allemagne, Abel a visité le sud de l'Europe. Il se rend ensuite en France, où il fait la connaissance d'Adrien Marie Legendre, d'Augustin Louis Cauchy et d'autres. En leur compagnie, il écrivit le Mémoire sur une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions transcendantales, qui fut soumis à l'Académie Royale des Sciences de Paris. Le mémoire exposait les travaux antérieurs d'Abel sur les fonctions elliptiques et proposait ce qui allait devenir le théorème d'Abel. Malheureusement, il fut mal reçu, rejeté par Legendre car «illisible», puis temporairement perdu par Cauchy. Deux ans après la mort d'Abel, le manuscrit a finalement refait surface, mais il n'a été publié qu'en 1841.
En 1827, Abel n'avait plus d'argent et était forcé de retourner en Norvège. Il avait espéré occuper un poste universitaire, mais ne pouvait trouver de travail que comme tuteur. À ce moment, il a découvert qu'il avait contracté la tuberculose. Plus tard en 1827, il a écrit un long article sur les fonctions elliptiques pour le journal de Crelle et a commencé à travailler pour Crelle en tant qu'éditeur.
Abel est décédé le 6 avril 1829, alors qu'il rendait visite à sa fiancée danoise, Christine Kemp, qui vivait à Froland. Quelques jours plus tard, inconscient de la mort d'Abel, Crelle écrit pour lui dire qu'il s'est assuré un poste à l'Université de Berlin. Abel a été honoré à titre posthume, en 1830, lorsque l'Académie française lui a décerné le Grand Prix, un prix qu'il a partagé avec Karl Jacobi.
Lectures supplémentaires sur Niels Abel
Bell, E.T., Hommes de mathématiques, Simon et Schuster, 1986. Minerai, Oystein, Niels Henrik Abel: Mathématicien extraordinaire,
Presse de l'Université du Minnesota, 1957.
"Niels Henrik Abel", MacTutor Histoire des archives mathématiques.
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematics/abel.html (mars 1997).